Viết PT parabol đi qua 3 điểm có tọa độ xấu

Mỗi ngày một bài toán 01

Bài toán. Cho hàm số $y=x^3 - 3x^2 - 6x + 1$ có đồ thị là đường cong $(C)$. Từ điểm $A(-4,-3)$ kẻ được ba tiếp tuyến đến $(C)$. Viết phương trình parabol $(P)$ đi qua ba tiếp điểm.

Giải.

Giả sử $x_0$ là hoành độ tiếp điểm kẻ từ $A$. Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0$ là

$d \colon y = (3x_0^2 - 6x_0 - 6)(x - x_0) + x_0^3 - 3x_0^2 - 6x_0 + 1.$

Vì $d$ đi qua $A(-4,-3)$ nên ta suy ra

$2x_0^3 + 9x_0^2 - 24x_0 - 28 = 0.$            (1)

Mà $y_0 = x_0^3 - 3x_0^2 - 6x_0 + 1$ nên ta rút $x_0^3$ sau đó thay vào (1) để được

$$y_0 = - \frac{15}{2} x_0^2 - 6x_0 - 15.$$

Vậy ba tiếp điểm trên cùng thuộc parabol $(P)\colon y=-\frac{15}{2}x^2 + 6x + 15.$

Nhận xét. Rõ ràng (1) là phương trình hoành độ giao điểm của ba tiếp điểm kẻ từ $A$ đến $(C)$. Tuy nhiên các hoành độ này là xấu và do đó rất khó để xác định toạ độ của ba tiếp điểm. Ở đây ta sử dụng hướng đi trung gian để tìm ra phương trình parabol (P) đi qua chúng.

Một số bài toán tương tự:

Bài 1.1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-2x^2-x+1$.

Bài 1.2. Cho hàm số $y=x^3 -3x + 1$ có đồ thị là đường cong $(C)$. Giả sử một đường thẳng $d$ cắt $(C)$ tại ba điểm $A$, $B$, $C$. Qua $A$, $B$, $C$ lần lượt kẻ các tiếp tuyến với $(C)$ và cắt lại $(C)$ tại $A_1$, $B_1$, $C_1$ tương ứng. Chứng minh rằng $A_1$, $B_1$, $C_1$ thẳng hàng.

Bài 1.3. Cho hàm số $y = f(x) = 2x^3 - 2x^2 - 9x + 9$ có đồ thị là đường cong $(C)$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ trục hoành $Ox$.

Giải. Giải phương trình $f(x) = 0$ ta được ba nghiệm $a < b=1 < c$. Khi đó đáp số cần tìm là

$$S= \int_a^b f(x)dx + \int_b^c [-f(x)]dx= 2g(b)-g(a)-g(c),$$

với $g(x) = \frac{1}{2} x^4 - \frac{2}{3} x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 9x$ là một nguyên hàm của $f(x)$.

Thực hiện chia đa thức $g(x)$ cho $f(x)$ ta được

$$g(x) = f(x)\cdot \left( \frac{x}{4}-\frac{1}{12}\right) - \frac{29}{12}x^2+6x+\frac 3 4.$$

Vì $a, b, c$ là nghiệm của $f(x)$ nên $f(a)=f(b)=f(c)=0$. Do đó

$$g(a)+g(b)+g(c) = -\frac{29}{12} (a^2 + b^2 + c^2)+6(a+b+c)+\frac 9 4 = -\frac{191}{12}.$$

Do vậy $S=3g(1) - [g(a)+g(b)+g(c)] = \frac{347}{12}$.

Lời giải trên có phần rườm rà bởi lẽ phương trình $f(x)=0$ có nghiệm tường minh $a=-\frac{3}{\sqrt 2}$, $b=1$, $c=\frac{3}{\sqrt 2}$ là những con số tương đối thuận lợi cho tính toán. Tuy nhiên lời giải trên cho thấy, không cần thiết phải tìm $a$ và $c$ mà chỉ cần biết nghiệm ở giữa $b$ là đủ. Hướng giải trên cho phép ta đi tiếp với bài toán tổng quát hơn:

Bài 1.4. Cho hàm số $y= f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - (a + b + c)$ ($a>0$) có đồ thị là đường cong $(C)$ thoả mãn điều kiện $3a + 2b + c < 0$.

a) Chứng minh rằng phương trình $f(x)=0$ có ba nghiệm thực phân biệt.

b) Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và trục hoành.

Đáp số: $S=-\frac 9 4 a - 3b - \frac 3 2 c - \frac{1}{12a^3} (12a^2b^2-6a^2c^2-b^4+6ab^2+12a^2bc)$.

Đặc biệt, khi $b=0$ thì $S=\frac 1 2 \frac{c^2}{a} - \frac 9 4 a - \frac 3 2 c > \frac{27}{4} a$.