Một chút lượng giác

Bài toán. Cho các số thực $a,b,c$ thoả mãn $\sin a+\sin b+\sin c\geq \frac 32$. Chứng minh rằng

$$\sin\left( a-\frac{\pi}6\right)+\sin\left( b-\frac{\pi}6\right)+\sin\left( c-\frac{\pi}6\right)\geq 0.$$

Giải. Hiển nhiên

$$\sin\left( a+\frac{\pi}3\right)+\sin\left( b+\frac{\pi}3\right)+\sin\left( c+\frac{\pi}3\right)\leq 3,$$

hay 

$$\frac 1 2 (\sin a+\sin b+\sin c)+\frac {\sqrt 3}2(\cos a+\cos b+\cos c)\leq 3.$$

Kết hợp giả thiết suy ra

$$\cos a+\cos b+\cos c\leq \frac{3\sqrt 3}{2}.$$

Từ đó

$$\sin\left( a-\frac{\pi}6\right)+\sin\left( b-\frac{\pi}6\right)+\sin\left( c-\frac{\pi}6\right)$$

$$=\frac{\sqrt 3}2(\sin a+\sin b+\sin c)-\frac 12(\cos a+\cos b+\cos c)\geq 0.$$

Dấu đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi $a=b=c=\frac \pi 6.$