Bài toán 1. (Olympic 30/4/2023, lớp 11)
Cho \( a < b < c \) là ba nghiệm thực của phương trình \(8x^3 - 4x^2 - 4x + 1=0\).
a) Lập phương trình bậc ba có ba nghiệm là \( 1-2a^2, 1-2b^2, 1-2c^2\).
b) Chứng minh rằng \( 2a^2 + b = 2b^2 + c = 2c^2 + a = 1\).
Lời giải:
a) Theo Định lý Viete, ta có
\[ a + b + c = 1/2, \quad ab + bc + ca = -1/2, \quad abc = -1/8. \]
Từ đó suy ra
\[ a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) = 5/4,\]
\[ a^2b^2 + b^2c^2 + c^2 a^2 = (ab + bc + ca)^2 - 2abc(a + b + c) = 3/8.\]
Khi đó
\[ (1-2a^2) + (1-2b^2) + (1-2c^2) = 1/2,\]
\[ (1-2a^2)(1-2b^2) + (1-2b^2)(1-2c^2) + (1-2c^2)(1-2a^2) = -1/2,\]
\[ (1-2a^2)(1-2b^2)(1-2c^2) = -1/8.\]
Từ đó suy ra \( 1-2a^2, 1-2b^2, 1-2c^2 \) là nghiệm của phương trình
\[ 8x^3 - 4x^2 - 4x + 1 = 0.\]
b) Bằng Định lý giá trị trung gian, ta chứng minh được \[ a\in \left(-\frac{3}{4}, -\frac{1}{2}\right), b\in \left(0,\dfrac{1}{4} \right), c\in \left(\dfrac{3}{4}, 1\right). \]
Khi đó \( 1-2a^2 \in (-1/8, 1/2) \), \(1-2b^2 \in (7/8, 1)\), \( 1 - 2c^2 \in (-1,-1/8)\).
Nói riêng, \( 1-2c^2 < 1-2a^2 < 1-2b^2 \).
Hơn nữa từ kết quả câu a) ta nhận thấy \( 1-2a^2, 1-2b^2, 1-2c^2 \) là một hoán vị của \(a, b, c\).
Suy ra \( 1-2a^2 = b\), \(1-2b^2 = c\), \( 1-2c^2 = a\).
Nhận xét.
Đây là một bài toán có thể nói là không mới nhưng sẽ gây khó khăn nhất định khi giải trong điều kiện áp lực phòng thi và không có máy tính.
Ý a) tương đối đơn giản, ta chỉ việc biểu diễn các tổng đối xứng của \( 1-2a^2, 1-2b^2, 1-2c^2\) theo \(a, b, c\). Kết quả này của câu a) sẽ tiếp tục gợi ý ta xử lý câu b).
Một hướng tiếp cận khác cho bài toán đó là tìm dạng tường minh cho \( a, b, c \). Tuy nhiên nghiệm của phương trình trên là tương đối phức tạp. Bạn đọc có thể thử hướng này để tiếp cận bài toán sau:
Bài toán 2. Giả sử a < b < c là ba nghiệm của phương trình \( x^3 - 3x + 1 = 0 \). Chứng minh rằng
\[ a^2 - c = b^2 - a = c^2 - b = 2. \]
Gợi ý: \( a = 2\cos \frac{8\pi}{9} \), \( b = 2\cos \frac{14\pi}{9} \), \( c = 2\cos \frac{2\pi}{9} \).
Vấn đề thứ hai được đặt ra sau khi giải hai bài toán là, liệu ta có thể tự tìm một đa thức bậc ba có ba nghiệm thực thoả mãn tính chất đẹp đẽ này không?
Trong tạp chí Pi, tác giả Nguyễn Anh Vũ có đặt ra một bài toán như vậy:
Bài toán 3. (P687, Pi tháng 3/2023)
Tìm tất cả cặp số thực (p, q) sao cho phương trình \( x^3 - px + q = 0 \) có ba nghiệm thực a, b, c thoả mãn
\[ a^2 - b = b^2 - c = c^2 - a.\]
Sau khi giải Bài toán 3, tôi lại đưa ra bài toán tổng quát cho Bài toán 2 như sau:
Bài toán 4. Với k là số thực cho trước, chứng minh rằng phương trình \( x^3 - 3k^2 x + k^3 = 0 \) có ba nghiệm thực phân biệt \(a, b, c\) thoả mãn
\[ a^2 - kb = b^2 - kc = c^2 - ka = 2k^2. \]
(to be continued...)
No comments:
Post a Comment