Một dãy số có "tốc độ hội tụ" của hàm mũ chồng mũ

Mỗi ngày một bài toán 02

Trong bài viết "Sứ mệnh phi thường của số $\sqrt 2$" (Tạp chí Pi tháng 5/2019), tác giả đã đưa ra một thuật toán để xấp xỉ số $\sqrt 2$ như sau:

• Chọn số dương $a_1$ bất kỳ.
• Xét hai dãy số $\{ a_n \}$ và $\{ b_n \}$ thoả mãn: $b_n = \frac{2}{a_n}$ và $a_{n+1}=\frac{a_n + b_n}{2}$ với mọi số nguyên dương $n$.

Tác giả mô tả trực quan ý nghĩa của thuật toán bằng trục số và nhấn mạnh rằng dãy số $\{a_n \}$ hội tụ rất nhanh về $\sqrt{2}$ (xem bài viết).

Để minh chứng cho khẳng định trên, ở cuối bài viết, ta giả đưa ra một số bài toán đào sâu thêm vấn đề này. 

Bài toán. Cho dãy số $\{a_n\}$ được xác định bởi: $a_1 > 0$ và 

$$a_{n+1} = \frac{a_n^2 + 2}{2a_n}, \forall n\geq 1.$$

a) Chứng minh rằng $\lim a_n = \sqrt 2$.

b) Chứng minh rằng $| a_{21} - \sqrt{2} | < 10^{-300}$, trong trường hợp $a_1 = 103$.

Ý đầu tiên là đơn giản. Ta có thể chứng minh sự hội tụ của dãy $\{ a_n \}$ bằng Nguyên lý Weierstrass (chú ý $a_n \geq \sqrt{2}, \forall n > 1$).

Ý thứ hai của bài toán giải thích về sự kiện "hội tụ nhanh" của dãy $\{ a_n \}$. Ở đây kết luận bài toán đã là một gợi ý rất rõ: ta phải đi đánh giá hiệu $|a_n - \sqrt 2|$ với một hàm mũ theo $n$.

Ở đây mình sẽ trình bày lời giải chi tiết cho ý b).

Lời giải. Xét trường hợp tổng quát với $a_1 >0$ bất kỳ.

Theo ý a), vì $\lim a_n = \sqrt 2$ nên tồn tại số nguyên dương $n_0$ sao cho $|a_{n_0} - \sqrt 2 | < 2$.

Với mọi $n> n_0$, ta có

$$a_n - \sqrt 2 = \frac{(a_{n-1} - \sqrt 2)^2}{2a_{n-1}} \leq \frac 1 {2\sqrt 2} \cdot (a_{n-1} - \sqrt 2)^2.$$

Áp dụng kết quả trên nhiều lần, ta được

$$a_n - \sqrt 2 \leq \left( \frac 1 {2\sqrt 2} \right)^{2^{n-n_0}-1} (a_{n_0} - \sqrt 2)^{2^{n-n_0}}<2^{-\frac{3}{2} \left(2^{n-n_0}-1\right)} \cdot 2^{2^{n-n_0}} = 2^{\frac 3 2 - 2^{n-n_0 - 1}}.$$

Từ đó suy ra

$$\log (a_n - \sqrt 2) < \left(\frac 3 2 -2^{n-n_0-1}\right)\log 2.$$

Trong trường hợp $a_1=103$, ta tìm được $n_0 = 8$ và

$$\log (a_{21} - \sqrt 2) < -1233$$

nên $a_{21} - \sqrt 2 < 10^{-1233} < 10^{-300}$.

Ghi chú. 

1. Vì khoảng cách $a_1$ và $\sqrt 2$ rất lớn nên nếu cứ hồn nhiên đánh giá đến $n_0 = 1$ thì ta được một đánh giá không có ý nghĩa:

$$\log (a_{21} - \sqrt 2) < -\frac{3}{2}\cdot 2^{19}\cdot \log 2 + 2^{20}\log (103-\sqrt 2) \approx 1867577.$$

Một cách tự nhiên, ta sẽ tìm $n_0$ sao cho  $|a_{n_0} - \sqrt 2|$ nhỏ vừa đủ. Điều này là hoàn toàn làm được theo định nghĩa giới hạn dãy số.

2. Trong chứng minh ở trên, ta thấy hiệu $(a_n - \sqrt 2)$ bị chặn trên bởi một hàm mũ chồng mũ (!) nên dãy $\{ a_n \}$ hội tụ về $\sqrt 2$ với tốc độ khủng khiếp!