Giải PT bằng hàm ngược

Bài toán. Giải phương trình $$x^9+\frac 9 8 x^6 + \frac {27}{64}x^3-x+\frac{219}{512}=0.$$

Giải.

Phương trình viết lại thành

$$\left( x^3 +\frac 3 8\right)^3 = x-\frac 3 8$$

$$x^3 +\frac 38 =\sqrt[3]{x-\frac 38}$$

hay

$$f(x)=f^{-1}(x),$$

với $f(x)=x^3+\frac 3 8.$ Vì đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=f^{-1}(x)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$ nên kết quả trên tương đương

$$f(x)=x.$$

Giải phương trình bậc ba này, ta tìm được ba nghiệm

$$x=\frac12, x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}4.$$