My first submitted problem

Cuối tháng 3 vừa rồi mình bất ngờ khi bài toán đề xuất của mình gửi cho tạp chí Pi được chấp nhận. Nội dung của bài toán này là như sau:

Bài toán 1. (P698, tạp chí Pi tháng 4/2023) Cho số nguyên \(m > 1\). Chứng minh rằng

a) Tồn tại \(m\) số thực dương \(x_1, x_2,\ldots, x_m\) không đồng thời bằng 1 sao cho \[\sqrt[n]{x_1}+\sqrt[n]{x_2}+\cdots + \sqrt[n]{x_m}\] là một số nguyên, với mọi \(n=1,2,\ldots, 100\).

b) Không tồn tại \(m\) số thực dương \(x_1, x_2,\ldots, x_m\) không đồng thời bằng 1 sao cho \[\sqrt[n]{x_1}+\sqrt[n]{x_2}+\cdots + \sqrt[n]{x_m}\] là một số nguyên, với mọi số nguyên dương \(n\).

Bài này được mình lấy cảm hứng từ một bài toán trong giáo trình Giải tích 1 của trường mình, mà sau này mình được biết là từ cuốn Putman Beyond:

Bài toán 2. Cho \(a_1, a_2,\ldots, a_m\) là các số thực dương. Chứng minh rằng nếu

\[ \sqrt[n]{1} + \sqrt[n]{2} + \cdots + \sqrt[n]{2020} = \sqrt[n]{a_1} + \sqrt[n]{a_2} + \cdots + \sqrt[n]{a_m}\]

với mọi số tự nhiên \(n\) thì \(m=2020\) và hơn nữa \(a_1a_2\cdots a_{2020} = 2020\).

Cái hay của Bài toán 2 là cách phát biểu tưởng chừng rất hiển nhiên, rất đại số nhưng lại sử dụng công cụ của giải tích thông qua việc lấy giới hạn nhờ giả thiết "với mọi \(n\)". Điều đó đã làm mình hứng thú và thử tạo một bài toán sử dụng cùng một tư tưởng như vậy. 

Trong Bài toán 1 được tạo ra, hai ý a) và b) có các phát biểu tựa nhau và chúng có ý nghĩa như sau: Luôn có một bộ số \( (x_1, x_2,\ldots, x_m) \) không tầm thường để xảy ra sự kiện tổng các căn bậc \(n\) của chúng là một số nguyên với rất nhiều số \(n\) (ở đây là từ 1 đến 100), tuy nhiên khi \(n\) là tuỳ ý (ở đây được hiểu là vô cùng) thì bộ số này không tồn tại. Hai khái niệm "lớn tuỳ ý" và "vô cùng" được đặt ra một cách rất tinh tế.

Một bài toán tuy có cách phát biểu tương tự nhưng được xử lý theo một hướng khác:

Bài toán 3. (Poland 2018) Cho \(k\) là số nguyên dương và \( \{a_n\} \subset \{1,2,\ldots ,k\}\) (tức là một dãy vô hạn nhận giá trị hữu hạn). Đặt

\[ b_n=\sqrt[n]{a_1^n + a_2^n +\cdots + a_n^n},\]

với mọi số nguyên dương \(n\). Giả sử dãy \(\{b_n\}\) có vô hạn số nguyên. Chứng minh rằng dãy \(\{b_n\}\) có tất cả số hạng đều là số nguyên.

Ta cảm nhận, nếu dãy \(\{b_n\}\) có vô hạn số nguyên thì chúng  hẳn sẽ cùng bằng một số nguyên \(M\) nào đó, và điều đó sẽ bắt đầu kể từ một số hạng nào đó. Không còn gì xa lạ hơn, ta tiếp cận bằng công cụ giới hạn dãy số cho điều này. Thế còn trước đó thì sao? Ta sẽ cần phải xử lý thêm...