Chứng minh một tập hợp là tập N*

Bài toán. Cho tập hợp $\emptyset \neq A \subset \mathbb N^*$ thỏa mãn điều kiện: Nếu $a\in A$ thì $4a\in A$ và $\lfloor \sqrt a \rfloor \in A$ (ký hiệu $\lfloor x \rfloor$ để chỉ số nguyên dương lớn nhất không vượt quá $x$). Chứng minh rằng $A=\mathbb N^*$.

Giải. Gọi $a_0 \in A$ là phần tử bé nhất của $A$. Nếu $a_0 > 1$ thì $A \ni \lfloor \sqrt a_0 \rfloor \leq \sqrt a_0 < a_0$, một mâu thuẫn.

Vậy $a_0 = 1\in A$. Từ đó $4^n \in A, \forall n\in \mathbb N$, suy ra $2^n \in A, \forall n\in \mathbb N$. Vậy nên

$$\left\lfloor (2^n)^{\tfrac 1 {2^m}} \right\rfloor \in A, \quad \forall m, n\in \mathbb N.$$

Lấy $k$ là một số nguyên dương bất kỳ. Ta sẽ chứng minh tồn tại $m$, $n$ để $k$ có dạng trên. 

Muốn vậy,

$$k\leq (2^n)^{\tfrac 1 {2^m}}<k+1,$$

tương đương

$$2^m \log_2 k \leq n < 2^m \log_2 (k+1).$$

Để tồn tại số tự nhiên $n$ thì hiệu hai số ở hai bên lớn hơn $1$, tức là

$$2^m \log_2 \frac {k+1}{k} > 1.$$

Vì $\log_2 \frac {k+1} k > 0$ nên vế trái lớn tùy ý, do đó ta luôn chọn được số nguyên dương $m$ thỏa mãn bất đẳng thức trên. Khi đó số nguyên dương $n$ tồn tại. Vậy nên $k \in A$.

Nói cách khác $\mathbb N^* \subset A\subset \mathbb N^*$. Vậy $A=\mathbb N^*.$