Chứng minh hàm số hội tụ nhờ chuỗi số

Bài toán. Cho hàm số $f:[-1,1] \rightarrow \mathbb R$ là một hàm số liên tục. Xét dãy số $\{a_n\}$ cho bởi công thức truy hồi

$$a_{n+1} = a_n + \frac 1 {n^2} f\left( \frac {a_n} {1+|a_n|} \right), \quad \forall n\geq 1.$$

Chứng minh rằng dãy số $\{a_n\}$ hội tụ.

Giải.

Dễ thấy $\frac{|a_n|}{1+|a_n|} < 1$ nên $\frac{a_n}{1+|a_n|} \in [-1, 1].$ Đặt $\displaystyle M = \max_{[-1, 1]} |f(x)|$. Ta có

$$|a_{n+1} - a_n| \leq \frac {M}{n^2}, \quad\forall n\geq 1.$$

Khi đó chuỗi

$$\sum_{n=1}^{\infty} (a_{n+1} - a_{n})$$

hội tụ tuyệt đối. Suy ra tổng riêng

$$S_n = \sum_{k=1}^n (a_{k+1} - a_k) = a_{n+1} - a_1$$

hội tụ. Vậy nên dãy $\{a_n\}$ hội tụ.