Tính giá trị hàm số nhờ Định lý giá trị trung gian

Bài toán. Cho $f$ là hàm số liên tục trên $\mathbb R$ thỏa mãn $f(2024) = 2023$ và $$f(x)f(f(f(f(x))))=1, \quad \forall x\in \mathbb R.$$

Tính $f(2022)$.

Giải. Ký hiệu $E$ là miền giá trị của $f$. 

Từ giả thiết ta có $f(2024)=2023$ và $f(f(f(2023))) = \frac 1 {2023}$. 

Hơn nữa, vì $f$ là hàm số liên tục trên $\mathbb R$ nên $f$ nhận mọi giá trị trung gian ở giữa $\frac 1 {2023}$ và $2023$.

Nói cách khác,

$$M := \left[ \frac 1 {2023}, 2023\right] \subset E.$$

Khi đó

$$f(f(f(x))) = \frac 1 x, \forall x\in M.$$

Từ đây dễ thấy $f:M\rightarrow \mathbb R$ là một đơn ánh. Mà $f$ liên tục nên $f$ là hàm đơn điệu thực sự. Hơn nữa, $f$ là hàm số giảm trêm $M$.

Nếu tồn tại $x_0\in M$ sao cho $f(x_0) < \frac 1 {x_0}$ thì

$$f(f(x_0)) > f\left( \frac 1 {x_0} \right).$$

Tác dụng tiếp hai vế cho $f\circ f$, ta có

$$f\left( \frac 1 {x_0}\right) > x_0.$$

Như vậy $f(f(x_0)) > x_0$, lại suy ra

$$\frac 1{x_0} = f(f(f(x_0))) < f(x_0),$$

một mâu thuẫn. Tương tự, không tồn tại $x_0\in M$ sao cho $f(x_0) > \frac 1 {x_0}$.

Vậy nên

$$f(x) = \frac 1 x, \quad \forall x\in M.$$

Nói riêng, $f(2022) = \frac{1}{2022}.$