Giải PT bằng HPT

Bài toán. (T5/552)

Giải phương trình $x^3+6x^2+12x=16\sqrt[3]{x+3}.$

Giải.

PT được viết lại

$$(x+2)^3-8=8\sqrt[3]{8x+24}.$$

Đặt $a=x+2$. $b=\sqrt{8x+24}$. Khi đó ta có hệ

$$a^3-8=8b,$$

$$b^3-8=8a.$$

Hệ PT đối xứng trên có nghiệm $(a,b)=(k, k)$ với $k\in \{-2,1\pm \sqrt 5\}.$

Từ đó tập nghiệm của PT ban đầu là $S=\{-4,-1\pm \sqrt 5\}.$

Dạng tổng quát. $$A^n+B=C\sqrt[n]{AC-B}.$$

Đặt $u=A$, $v=\sqrt[n]{AC-B}$ ta sẽ đưa về HPT đối xứng.

Bài tập tương tự.

1. $4x^2-3x=(x+2)\sqrt{2x^2+2x-1}.$

2. $x^3-15x^2+75x-131=\sqrt[3]{x+1}.$ (HSG 9 Bắc Ninh)