Bài toán về dấu bằng của BĐT

Mỗi ngày một bài toán 16

Bài toán. (EGMO 2023)

Cho $n\geq 3$ các số thực dương $a_1, a_2,\ldots, a_n$. Với mỗi $i=\overline{1,n}$, đặt $b_i=\frac{a_{i+1}+a_{i-1}}{a_i}$, trong đó quy ước $a_0=a_n$, $a_1=a_{n+1}.$ Giả sử với mọi $1\leq i, j\leq n$, 

$$a_i\leq a_j\Leftrightarrow b_i\leq b_j.$$

Chứng minh rằng $a_1=a_2\cdots = a_n$.

Giải.

Gọi $a_k = \max\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}.$ Khi đó

$$b_k = \frac {a_{k+1}+a_{k-1}}{a_k} \leq \frac{2a_k}{a_k}=2.$$

Theo giả thiết, vì $a_k$ lớn nhất nên $b_k$ cũng lớn nhất. Do đó

$$b_i \leq 2, \forall i=1,2,\ldots, n.$$

Suy ra $b_1b_2 \cdots b_n \leq 2^n$.

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

$$b_1b_2\cdots b_n \geq \frac{2\sqrt{a_n a_2}}{a_1} \cdot \frac{2\sqrt{a_1a_3}}{a_2} \cdots \frac{2\sqrt{a_{n-1}a_1}}{a_n}=2^n.$$

Vậy đẳng thức phải xảy ra và điều này cho thấy $a_1=a_2=\ldots = a_n.$