Một bài toán về đồ thị hàm số

Mỗi ngày một bài toán 15

Bài toán. Cho hàm số $y=f(x) = e^x - x$ và hàm số $y=g(x)=x-\ln x$ có đồ thị lần lượt là đường cong $(C_1)$ và $(C_2)$.

a) Chứng minh rằng $(C_1)$ và $(C_2)$ cắt nhau tại đúng một điểm, gọi là $M$.

b) Chứng minh rằng đường thẳng qua $M$ song song với trục hoành chỉ cắt lại $(C_1)$ tại đúng một điểm gọi là $A$, chỉ cắt lại $(C_2)$ đúng một điểm gọi là $B$.

c) Chứng minh rằng $M$ là trung điểm $AB$.

Giải.

a) Xét hàm số $h(x) = f(x) - g(x) =  e^x + \ln x - 2x$ liên tục trên $(0, \infty)$.

Ta có $h'(x) = e^x + \frac 1 x - 2 \geq x+\frac 1 x -1 >0, \forall x>0.$

Mặt khác $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+} h(x) = -\infty$, $h\left(1\right) = e-2>0$ nên phương trình $h(x)=0$ có nghiệm duy nhất, gọi là $x_0\in (0, 1)$.

Vậy $(C_1)$ cắt $(C_2)$ tại đúng một điểm $M(x_0, m)$ với $m=f(x_0)=g(x_0)$.

b) Bạn đọc dùng BBT để chỉ ra rằng, phương trình $f(x)=m$ chỉ có thêm một nghiệm $a<0$, phương trình $g(x)=m$ chỉ có thêm một nghiệm $b>1$.

c) Ta thấy

$$f(\ln b) = g(b) = m.$$

Do đó $\ln b > 0$ là nghiệm của phương trình $f(x) = m$, suy ra $\ln b = x_0$.

Tương tự vì $g(e^a) = f(a) = m$ nên $e^a\in (0, 1)$ là nghiệm của phương trình $g(x)=m$, suy ra $e^a = x_0$.

Vậy

$$x_0 = \ln b = e^a.$$

Suy ra 

$$MA = x_0 - a = e^a - a = m = b-\ln b = b - x_0 = MB.$$