Processing math: 100%

Friday, April 14, 2023

Đếm số hoán vị bằng dãy truy hồi

Mỗi ngày một bài toán 03

Bài toán. Cho số nguyên dương n>2. Xét (a_1, a_2,\ldots, a_n) là một hoán vị của tập hợp X=\{1,2,\ldots, n\}  sao cho 2(a_1+a_2+\cdots+a_k) chia hết cho k với mọi k=1,2,\ldots, n.

a) Chứng minh rằng a_n\in \{1, n\}.

b) Tìm số hoán vị trên của X.

Giải.

Theo giả thiết ta có 

(n-1) \;|\; 2(a_1+a_2+\cdots + a_{n-1}).

(a_1,a_2,\ldots, a_n) là một hoán vị của (1,2,\ldots, n) nên

a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.

Do đó

(n-1) \;|\; n(n+1) - 2a_n = n(n-1) + 2(n - a_n).

Suy ra 

(n-1) \;|\; 2(n-a_n). 

0\leq 2(n-a_n)\leq 2(n-1) nên 2(n-a_n) \in \{0,n-1,2(n-1)\}, do đó 

a_n \in \left\{1,n, \frac{n+1}{2} \right\}.

Ta chứng minh a_n \neq \frac{n+1}{2}. Thật vậy nếu n chẵn thì ta có điều phải chứng minh. 

Trong trường hợp n lẻ, ta có

a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} = \frac {n(n+1)}{2} - \frac{n+1}{2} = \dfrac{(n-1)(n+1)}{2}.

Khi đó

(n-2) \;|\; 2(a_1 + \cdots + a_{n-2}) = (n-2)(n+1) + (n+1) - 2a_{n-1}.

Suy ra

(n-2) \; | \; (n+1) -  2a_{n-1}.

-(n-1) \leq n+1-2a_{n-1} \leq n-1 nên n+1-2a_{n-1} \in \{ -n + 2, 0, n-2\}.

Từ đó a_{n-1} \in \left \{ \frac{2n-1}{2}, \frac{n+1}{2}, \frac 3 2 \right \}, một mâu thuẫn vì a_{n-1} là một số nguyên và a_{n-1} \neq a_n.

Tóm lại a_n \in \{1, n\}.

b) Ta gọi hoán vị thỏa mãn yêu cầu bài toán là một hoán vị đẹp. Ký hiệu

  • S_n là tập hợp các hoán vị đẹp của tập \{1,2,\ldots, n\};
  • A_n là tập hợp các hoán vị đẹp của tập \{1,2,\ldots, n\} trong đó a_n = n;
  • B_n là tập hợp các hoán vị đẹp của tập \{1,2,\ldots, n\} trong đó a_n = 1.

Theo ý a), |S_n| = |A_n| + |B_n|.

* Đếm |A_n|.

Ta thấy rằng một hoán vị đẹp (a_1,a_2,\ldots, a_{n-1}, n) \in A_n khi và chỉ khi (a_1,a_2,\ldots, a_{n-1}) \in S_{n-1}. Do đó

|A_n| = |S_{n-1}|.

* Đếm |B_n|

Dễ thấy ánh xạ

f: B_n \rightarrow S_{n-1}

(a_1,\ldots, a_{n-1},1) \mapsto (a_1-1,\ldots, a_{n-1}-1)

là một song ánh. Theo đó

|B_n| = |S_{n-1}|.

Do đó

|S_n| = 2|S_{n-1}|, \forall n>3.

Vậy |S_n| = |S_3|.2^{n-3} = 3.2^{n-2},\forall n\geq 3.


Ghi chú: Thay n=2023 ta được một câu hỏi trong đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm 2023.

No comments:

Post a Comment

Một chút lượng giác

Bài toán.  Cho các số thực a,b,c thoả mãn \sin a+\sin b+\sin c\geq \frac 32. Chứng minh rằng $$\sin\left( a-\frac{\pi}6\right)+\sin\left...