Mỗi ngày một bài toán 03
Bài toán. Cho số nguyên dương n>2. Xét (a_1, a_2,\ldots, a_n) là một hoán vị của tập hợp X=\{1,2,\ldots, n\} sao cho 2(a_1+a_2+\cdots+a_k) chia hết cho k với mọi k=1,2,\ldots, n.
a) Chứng minh rằng a_n\in \{1, n\}.
b) Tìm số hoán vị trên của X.
Giải.
Theo giả thiết ta có
(n-1) \;|\; 2(a_1+a_2+\cdots + a_{n-1}).
Vì (a_1,a_2,\ldots, a_n) là một hoán vị của (1,2,\ldots, n) nên
a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.
Do đó
(n-1) \;|\; n(n+1) - 2a_n = n(n-1) + 2(n - a_n).
Suy ra
(n-1) \;|\; 2(n-a_n).
Mà 0\leq 2(n-a_n)\leq 2(n-1) nên 2(n-a_n) \in \{0,n-1,2(n-1)\}, do đó
a_n \in \left\{1,n, \frac{n+1}{2} \right\}.
Ta chứng minh a_n \neq \frac{n+1}{2}. Thật vậy nếu n chẵn thì ta có điều phải chứng minh.
Trong trường hợp n lẻ, ta có
a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} = \frac {n(n+1)}{2} - \frac{n+1}{2} = \dfrac{(n-1)(n+1)}{2}.
Khi đó
(n-2) \;|\; 2(a_1 + \cdots + a_{n-2}) = (n-2)(n+1) + (n+1) - 2a_{n-1}.
Suy ra
(n-2) \; | \; (n+1) - 2a_{n-1}.
Mà -(n-1) \leq n+1-2a_{n-1} \leq n-1 nên n+1-2a_{n-1} \in \{ -n + 2, 0, n-2\}.
Từ đó a_{n-1} \in \left \{ \frac{2n-1}{2}, \frac{n+1}{2}, \frac 3 2 \right \}, một mâu thuẫn vì a_{n-1} là một số nguyên và a_{n-1} \neq a_n.
Tóm lại a_n \in \{1, n\}.
b) Ta gọi hoán vị thỏa mãn yêu cầu bài toán là một hoán vị đẹp. Ký hiệu
- S_n là tập hợp các hoán vị đẹp của tập \{1,2,\ldots, n\};
- A_n là tập hợp các hoán vị đẹp của tập \{1,2,\ldots, n\} trong đó a_n = n;
- B_n là tập hợp các hoán vị đẹp của tập \{1,2,\ldots, n\} trong đó a_n = 1.
Theo ý a), |S_n| = |A_n| + |B_n|.
* Đếm |A_n|.
Ta thấy rằng một hoán vị đẹp (a_1,a_2,\ldots, a_{n-1}, n) \in A_n khi và chỉ khi (a_1,a_2,\ldots, a_{n-1}) \in S_{n-1}. Do đó
|A_n| = |S_{n-1}|.
* Đếm |B_n|
Dễ thấy ánh xạ
f: B_n \rightarrow S_{n-1}
(a_1,\ldots, a_{n-1},1) \mapsto (a_1-1,\ldots, a_{n-1}-1)
là một song ánh. Theo đó
|B_n| = |S_{n-1}|.
Do đó
|S_n| = 2|S_{n-1}|, \forall n>3.
Vậy |S_n| = |S_3|.2^{n-3} = 3.2^{n-2},\forall n\geq 3.
Ghi chú: Thay n=2023 ta được một câu hỏi trong đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm 2023.
No comments:
Post a Comment