Mỗi ngày một bài toán 04
Bài toán. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax^2 + bx + c với a, b, c là các số nguyên và ac>0. Giả sử f(x) có nghiệm hữu tỷ. Chứng minh rằng b^2 \leq (ac + 1)^2.
Giải. Nếu |b|\in \{0, 1\} thì kết luận bài toán hiển nhiên theo giả thiết. Ta xét |b|\geq 2.
Theo giả thiết, ta có 0 \leq \Delta = b^2 - 4ac < b^2, suy ra \sqrt{\Delta} < |b|.
Hơn nữa, vì nghiệm của f(x) là hữu tỷ và a, b, c là các số nguyên nên \sqrt{\Delta} là số nguyên.
Nếu \sqrt{\Delta} = |b|-1 thì 4ac = 2|b| - 1, một mâu thuẫn vì một bên là số chẵn, bên kia là số lẻ.
Vậy nên \sqrt{\Delta} \leq |b|-2, suy ra |b| \leq ac + 1, tương đương điều phải chứng minh.
Sai lầm:
Học sinh lập luận rằng 0\leq \Delta < b^2, \Delta là bình phương của một số hữu tỷ, lại nhận giá trị nguyên nên \Delta là bình phương của một số nguyên. Sau khi xét \Delta = (b-1)^2 không thỏa, học sinh xét \Delta \leq (b-2)^2 hay b \leq ac + 1, suy ra b^2 \leq (ac + 1)^2.
Ghi chú:
1. Kết quả bài toán cho thấy, điều kiện cần để f(x) có nghiệm hữu tỷ là
2\sqrt{ac} \leq |b| \leq ac + 1.
Dĩ nhiên đây vẫn chưa phải là điều kiện đủ, chẳng hạn xét với (a,b,c)=(2,-9,8).
2. Tuy vậy ta kiểm tra được |b| = ac+1 và |b| = 2\sqrt{ac} là các điều kiện đủ để f(x) có nghiệm hữu tỷ. Hơn nữa không phải nếu 2\sqrt{ac} < |b| < ac+1 thì suy ra ngay f(x) không có nghiệm hữu tỷ, chẳng hạn (a,b,c) = (2,10,8).
Một câu hỏi tự nhiên và không kém phần thú vị được đặt ra:
Cho trước hai số nguyên a, c>1. Tìm điều kiện của a, c với mọi số nguyên b\in (2\sqrt{ac},ac+1), đa thức f(x)=ax^2+bx+c không có nghiệm hữu tỷ?
No comments:
Post a Comment