Một bài toán đơn giản về tam thức bậc hai?

Mỗi ngày một bài toán 04 

Bài toán. Cho tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ với $a, b, c$ là các số nguyên và $ac>0$. Giả sử $f(x)$ có nghiệm hữu tỷ. Chứng minh rằng $b^2 \leq (ac + 1)^2$.

Giải. Nếu $|b|\in \{0, 1\}$ thì kết luận bài toán hiển nhiên theo giả thiết. Ta xét $|b|\geq 2$.

Theo giả thiết, ta có $0 \leq \Delta = b^2 - 4ac < b^2$, suy ra $\sqrt{\Delta} < |b|$.

Hơn nữa, vì nghiệm của $f(x)$ là hữu tỷ và $a, b, c$ là các số nguyên nên $\sqrt{\Delta}$ là số nguyên.

Nếu $\sqrt{\Delta} = |b|-1$ thì $4ac = 2|b| - 1$, một mâu thuẫn vì một bên là số chẵn, bên kia là số lẻ.

Vậy nên $\sqrt{\Delta} \leq |b|-2$, suy ra $|b| \leq ac + 1$, tương đương điều phải chứng minh.

Sai lầm: 

Học sinh lập luận rằng $0\leq \Delta < b^2$, $\Delta$ là bình phương của một số hữu tỷ, lại nhận giá trị nguyên nên $\Delta$ là bình phương của một số nguyên. Sau khi xét $\Delta = (b-1)^2$ không thỏa, học sinh xét $\Delta \leq (b-2)^2$ hay $b \leq ac + 1$, suy ra $b^2 \leq (ac + 1)^2$.

Ghi chú:

1. Kết quả bài toán cho thấy, điều kiện cần để $f(x)$ có nghiệm hữu tỷ là

$$2\sqrt{ac} \leq |b| \leq ac + 1.$$

Dĩ nhiên đây vẫn chưa phải là điều kiện đủ, chẳng hạn xét với $(a,b,c)=(2,-9,8)$.

2. Tuy vậy ta kiểm tra được $|b| = ac+1$ và $|b| = 2\sqrt{ac}$ là các điều kiện đủ để $f(x)$ có nghiệm hữu tỷ. Hơn nữa không phải nếu $2\sqrt{ac} < |b| < ac+1$ thì suy ra ngay $f(x)$ không có nghiệm hữu tỷ, chẳng hạn $(a,b,c) = (2,10,8)$.

Một câu hỏi tự nhiên và không kém phần thú vị được đặt ra:

Cho trước hai số nguyên $a, c>1$. Tìm điều kiện của $a, c$ với mọi số nguyên $b\in (2\sqrt{ac},ac+1)$, đa thức $f(x)=ax^2+bx+c$ không có nghiệm hữu tỷ?