Processing math: 0%

Saturday, April 15, 2023

Một bài toán đơn giản về tam thức bậc hai?

Mỗi ngày một bài toán 04 

Bài toán. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax^2 + bx + c với a, b, c là các số nguyên và ac>0. Giả sử f(x) có nghiệm hữu tỷ. Chứng minh rằng b^2 \leq (ac + 1)^2.

Giải. Nếu |b|\in \{0, 1\} thì kết luận bài toán hiển nhiên theo giả thiết. Ta xét |b|\geq 2.

Theo giả thiết, ta có 0 \leq \Delta = b^2 - 4ac < b^2, suy ra \sqrt{\Delta} < |b|.

Hơn nữa, vì nghiệm của f(x) là hữu tỷ và a, b, c là các số nguyên nên \sqrt{\Delta} là số nguyên.

Nếu \sqrt{\Delta} = |b|-1 thì 4ac = 2|b| - 1, một mâu thuẫn vì một bên là số chẵn, bên kia là số lẻ.

Vậy nên \sqrt{\Delta} \leq |b|-2, suy ra |b| \leq ac + 1, tương đương điều phải chứng minh.


Sai lầm: 

Học sinh lập luận rằng 0\leq \Delta < b^2, \Delta là bình phương của một số hữu tỷ, lại nhận giá trị nguyên nên \Delta là bình phương của một số nguyên. Sau khi xét \Delta = (b-1)^2 không thỏa, học sinh xét \Delta \leq (b-2)^2 hay b \leq ac + 1, suy ra b^2 \leq (ac + 1)^2.

Ghi chú:

1. Kết quả bài toán cho thấy, điều kiện cần để f(x) có nghiệm hữu tỷ là

2\sqrt{ac} \leq |b| \leq ac + 1.

Dĩ nhiên đây vẫn chưa phải là điều kiện đủ, chẳng hạn xét với (a,b,c)=(2,-9,8).

2. Tuy vậy ta kiểm tra được |b| = ac+1|b| = 2\sqrt{ac} là các điều kiện đủ để f(x) có nghiệm hữu tỷ. Hơn nữa không phải nếu 2\sqrt{ac} < |b| < ac+1 thì suy ra ngay f(x) không có nghiệm hữu tỷ, chẳng hạn (a,b,c) = (2,10,8).

Một câu hỏi tự nhiên và không kém phần thú vị được đặt ra:

Cho trước hai số nguyên a, c>1. Tìm điều kiện của a, c với mọi số nguyên b\in (2\sqrt{ac},ac+1), đa thức f(x)=ax^2+bx+c không có nghiệm hữu tỷ?

No comments:

Post a Comment

Một chút lượng giác

Bài toán.  Cho các số thực a,b,c thoả mãn \sin a+\sin b+\sin c\geq \frac 32. Chứng minh rằng $$\sin\left( a-\frac{\pi}6\right)+\sin\left...