Chứng minh nghiệm duy nhất bằng tính đơn điệu được không?

Mỗi ngày một bài toán 06

Bài toán. (Cauchy) Cho $a_1, a_2,\ldots, a_n$ là các số thực không âm, không đồng thời bằng 0 và đa thức

$$f(x) = x^n - a_1 x^{n-1} - \cdots - a_n.$$

Chứng minh rằng $f(x)$ có một nghiệm dương duy nhất $\alpha$. Hơn nữa, nếu $\gamma$ là một nghiệm phức của $f(x)$ thì $|\gamma| \leq \alpha$.

Lời giải 1.

Xét hàm số

$$g(x) = -\frac{f(x)}{x^n} = -1 + \frac{a_1}{x} + \frac{a_2}{x^2} + \cdots + \dfrac{a_n}{x^n}.$$

Ta thấy hàm số $g(x)$ liên tục và đơn điệu giảm từ $+\infty$ đến $-1$ trên miền $(0,+\infty)$ nên phương trình $g(x) = 0$ có nghiệm dương duy nhất $\alpha$. Đồng thời $\alpha$ cũng chính là nghiệm dương duy nhất của $f(x).$

Giả sử có $\gamma$ là một nghiệm của $f(x)$ nhưng $|\gamma| > \alpha>0$. Khi đó vì $g$  là hàm giảm trên $(0,\infty)$ nên $g(|\gamma|) < g(\alpha) = 0$ hay

$$|\gamma|^n > a_1 |\gamma|^{n-1} + \cdots + a_n.$$

Mặt khác vì $f(\gamma) = 0$ nên khi dùng bất đẳng thức modulus của số phức,

$$|\gamma|^n \leq a_1 |\gamma|^{n-1} + \cdots + a_n,$$

một mâu thuẫn với kết quả ngay trên. Vậy nếu $\gamma$ là nghiệm của $f(x)$ thì $|\gamma| \leq \alpha$.

Ở ý thứ hai của bài toán, ta xét với $n$ cố định nào đó và gọi $\gamma$ là một nghiệm của $f_n(x)$ sao cho $|\gamma| > \alpha_n$. Vì $f_n$ là hàm tăng trên $[\alpha_n, \infty)$ nên $f_n(|\gamma|)>f_n(\alpha)=0$ hay

$$|\gamma|^n > a_1 |\gamma|^{n-1}+\cdots +a_n.$$

Mặt khác vì $f_n(\gamma)=0$ nên $\gamma^n = a_1\gamma^{n-1}+\cdots + a_n$, suy ra

$$|\gamma|^n \leq a_1 |\gamma|^{n-1}+\cdots + a_n,$$

mâu thuẫn với kết quả phía trên.

Nhận xét. 

i) Hàm số $f$ nói chung không đơn điệu trên $(0,\infty)$ nên ta không thể dùng ngay tính đơn điệu để chứng minh nghiệm dương duy nhất. Ý tưởng đột phá của Lời giải 1 là đưa nghiệm của hàm $f$ về nghiệm của hàm $g$ là một hàm đơn điệu giảm để xử lý. Tuyệt vời hơn nữa, trong ý tiếp theo của bài toán, tính đơn điệu của hàm $g$ còn được tiếp tục sử dụng để dẫn đến điều mâu thuẫn. Như vậy mấu chốt của bài toán là phát hiện ra hàm $g$, còn lại mọi việc giải quyết một cách suôn sẻ. 

ii) Lời giải tiếp theo đây sẽ cố gắng khắc phục khó khăn đã nói ở i), rằng nếu $f$ không đơn điệu tăng trên $(0,\infty)$, ta sẽ chứng minh nó đơn điệu tăng và có nghiệm trên một khoảng $(\delta, \infty)$, $\delta > 0$ và $f(x) < 0, \forall x\in (0,\delta)$ hay đại loại như vậy.

Lời giải 2.

Đặt $f_n(x) = x^n - a_1x^{n-1} - \cdots - a_n$. Ta đồng loạt chứng minh quy nạp rằng

1. $f_n(x)$ có nghiệm thực dương duy nhất $\alpha_n$;
2. $f_n(x) < 0, \forall x\in (0, \alpha_n)$;
3. $f_n' (x) > 0, \forall x\in [\alpha_n, \infty)$.

Với $n=1$, không khó để kiểm tra với $f_1(x) = x - a_1$.

Giả sử $f_n(x)$ có nghiệm $\alpha_n>0$ duy nhất và thỏa mãn 2) và 3).

Xét đa thức

$$f_{n+1}(x) = x^{n+1} - a_1x^n - \cdots - a_nx - a_{n+1}=xf_n(x) - a_{n+1}.$$

* Kiểm tra kết luận 1)

- Nếu $a_{n+1}=0$ thì $f_{n+1}(x) = xf_n(x)$ dĩ nhiên có nghiệm dương duy nhất $\alpha_{n+1} = \alpha_n$.

- Nếu $a_{n+1}>0$ thì $f_{n+1}(\alpha_n) <0$, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}f_{n+1}(x) = +\infty$ nên $f_{n+1}$ có nghiệm dương $\alpha_{n+1}\in (\alpha_n, \infty)$. Hơn nữa nghiệm này là duy nhất trên $(\alpha_n, \infty)$ vì 

$$f'_{n+1}(x)=f_n(x) + xf'_n(x) > 0, \forall x\geq \alpha_n.$$

* Kiểm tra kết luận 3): suy ra trực tiếp từ kết quả ngay trên.

* Kiểm tra kết luận 2): Ta chứng minh $f_{n+1}(x) < 0, \forall x\in (0, \alpha_{n+1})$.

- Với mọi $x\in (0, \alpha_n)$, theo giả thiết quy nạp $f_{n+1}(x) = xf_n(x) - a_{n+1}<0.$

- Với mọi $x\in [\alpha_n, \alpha_{n+1})$, vì $f_{n+1}$ tăng trên $[\alpha_n, \infty)$ nên $f_{n+1}(x) < f_{n+1}(\alpha_{n+1}) = 0$.

Nhận xét.

iii) Tuy chứng minh có phần rườm rà vì phải đồng thời chứng minh cả ba ý, tuy nhiên ý tưởng là hoàn toàn tự nhiên theo Nhận xét ii). Qua đó ta còn thấy thêm dãy nghiệm $\{\alpha_n\}$ của dãy đa thức $\{f_n\}$ trên là một dãy tăng thực sự.