Đa thức và độ dài ba cạnh của tam giác nhọn

Bài toán. Cho $P(x)$ là một đa thức bậc $n$ có hệ số thực không âm. Giả sử $a$, $b$, $c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn. Chứng minh rằng $\sqrt[m]{P(a)}$, $\sqrt[m]{P(b)}$, $\sqrt[m]{P(c)}$ cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn, trong đó $m\geq n$ là một số nguyên dương.

Giải. Không mất tính tổng quát, giả sử $a = \max\{a, b, c\}$. Khi đó $a^2 < b^2 + c^2$.

Giả sử

$$P(x) = d_n x^n + \cdots + d_1x + d_0,$$

trong đó $d_i \geq 0, \forall i = 0, 1\ldots, n$, $d_n \neq 0$.

Khi đó

$$\sqrt[m]{P(b)^2} + \sqrt[m]{P(c)^2} = \sqrt[m]{\left(d_n b^n + \cdots + d_1 b + d_0 \right)^2} + \sqrt[m]{\left( d_n c^n + \cdots + d_1c + d_0 \right)^2}$$

$$=b^2\cdot \sqrt[m]{\left( \frac{d_n}{b^{m-n}} + \cdots + \frac{d_1}{b^{m-1}} + \frac{d_0}{b^m} \right)^2}+c^2\cdot \sqrt[m]{\left( \frac{d_n}{c^{m-n}} + \cdots + \frac{d_1}{c^{m-1}} + \frac{d_0}{c^m} \right)^2}.$$

Với chú ý $b\leq a$, $c\leq a$, ta có

$$\sqrt[m]{P(b)^2} + \sqrt[m]{P(c)^2} \geq (b^2 + c^2)\cdot \sqrt[m]{\left( \frac{d_n}{a^{m-n}} + \cdots + \frac{d_1}{a^{m-1}} + \frac{d_0}{a^m} \right)^2}$$

$$> a^2 \cdot \sqrt[m]{\left( \frac{d_n}{a^{m-n}} + \cdots + \frac{d_1}{a^{m-1}} + \frac{d_0}{a^m} \right)^2}=\sqrt[m]{P(a)^2}.$$

Hơn nữa, vì $\sqrt[m]{P(a)}$ lớn nhất trong ba số $\sqrt[m]{P(a)}$, $\sqrt[m]{P(b)}$, $\sqrt[m]{P(c)}$ nên ta có kết luận của bài toán.

Nhận xét. 

i) Nhắc lại: Cho $a, b, c$ là ba số thực dương, trong đó $a$ là số lớn nhất. Khi đó $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn khi và chỉ khi $a^2 < b^2 + c^2$.

$\Rightarrow|$ Giả sử $a, b, c$ là ba cạnh của một tam giác nhọn. Kết luận được suy ra từ Định lý cos.

$\Leftarrow|$ Giả sử $a^2 < b^2 + c^2$. Khi đó $a< b + c$. Mà $a$ lớn nhất nên $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng Định lý cos trong tam giác ta thấy góc đối diện cạnh lớn nhất $a$ là góc nhọn nên tam giác vừa nêu cũng là tam giác nhọn.

ii) Nếu thay $m=n=2023$ ta được một câu hỏi trong đề thi HSG lớp 11 Vĩnh Phúc 2023.

iii) Có thể thay cụm từ "tam giác nhọn" bởi những cụm từ nào khác?