Liệu chỉ có nghiệm thực ở đây?

Mỗi ngày một bài toán 05

Bài toán. (Sáng tác) Cho $m > 0$ là một số thực dương bất kỳ.

a) Chứng minh rằng phương trình $x^4 - 4x = m$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt trái dấu.

b) Gọi $a, b$ là hai nghiệm của phương trình trên. Chứng minh rằng $0<a+b<\frac{2}{\sqrt{m}}$.

Ý a) đơn giản, dành cho bạn đọc. Ở đây tôi sẽ tập trung vào ý b) của bài toán.

Giải. Gọi thêm $c, d$ là hai nghiệm phức còn lại của phương trình $x^4-4x-m=0$.

Theo Định lý Viete,

$$(a+b)+(c+d)=0,$$

$$ab+cd+(a+b)(c+d)=0,$$

$$ab(c+d) + (a+b)cd=4,$$

$$abcd=-m.$$

Từ hai đẳng thức đầu tiên, ta rút được $c+d=-(a+b)$ và $cd=a^2+b^2+ab$.  

Thay xuống đẳng thức thứ ba ta được

$$(a+b)(a^2+b^2) = 4.$$

Đẳng thức trên cho thấy $a+b>0$. Hơn nữa khi kết hợp với đẳng thức thứ tư ta được

$$m=(-ab)cd = -ab\left(\frac{4}{a+b} + ab\right),$$

viết lại thành

$$\frac{4}{a+b} = \frac{m}{(-ab)} + (-ab).$$

Chú ý rằng $-ab>0$, áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $\frac{4}{a+b} \geq 2\sqrt m$ hay

$$a+b\leq \frac{2}{\sqrt m}.$$

Bạn đọc tự chứng minh dấu đẳng thức không xảy ra. Ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét.

Ý tưởng sử dụng tính chất nghiệm đa thức và Định lý Viete để khai thác mối liên hệ giữa các biến là một ý tưởng mới trong thời gian gần đây. Bạn đọc có thể thử sức với các bài toán tương tự sau.

Bài toán tương tự:

Bài 5.1. (HSG An Giang 2023) Cho $a, b$ là các số thực phân biệt và $c$ là số thực dương sao cho

$$a^4-2023a = b^4 - 2023 b = c.$$

Chứng minh rằng $-\sqrt{c}<ab<0.$.

(Đây cũng là đề gây cảm hứng để tạo nên bài toán trên)

Bài 5.2. (Thi thử vào 10 THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa chuyên Tin 2023)

Cho hai số thực $a, b$ phân biệt thỏa mãn $a^2-2023a = b^2-2023b = c$ với $c$ là một số thực dương. Chứng minh rằng

$$\frac 1 a + \frac 1 b + \frac {2023}{c} = 0.$$

Bài 5.3. (HSG 10 Vĩnh Phúc 2023)

Tìm tất cả các giá trị có thể có của $P=x^4+y^4+z^4$ trong đó $x$, $y$, $z$ là các số thực thỏa mãn

$$x^2-yz=y^2-zx=z^2-xy=2.$$

Bài 5.4. Cho $a, b, c$ là các số thực phân biệt thỏa mãn $\frac{a^3+1}a = \frac{b^3+1}b = \frac{c^3+1} c.$ Tính $Q=(abc+2)^{10}$.