Xây dựng tổng các nghịch đảo của các số nguyên dương

Mỗi ngày một bài toán 08

Bài toán. (Philippines MO (PMO) National Stage 2022)

Tìm số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương phân biệt không quá $n^2$ với tổng các nghịch đảo của chúng bằng $1$.

Lời giải.

Với $n=1$, ta có $1=\frac 1 1$.

Với $n=2$, phương trình $\frac 1 a + \frac 1 b = 1$ hay $(a-1)(b-1)=1$ không có nghiệm nguyên dương phân biệt.

Với $n=3$, ta có $1=\frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 6$.

Với $n=4$, ta có $1=\frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 {10} + \frac 1 {15}$.

Xét $n>4$. Đẳng thức dưới đây cho phép ta mở rộng từ một tổng của $t$ số hạng nghịch đảo thành tổng của $t+r$ số hạng nghịch đảo:

$$\frac 1 k = \frac 1 {k+r} + \frac 1 {k(k+1)} + \frac 1 {(k+1)(k+2)}+\cdots + \frac 1 {(k+r-1)(k+r)}.$$

Xét hai trường hợp của $n$.

1) $n$ là tích của hai số nguyên dương liên tiếp.

Áp dụng đẳng thức trên với $k=3$, $r=n-4$, ta có

$$1=\frac 1 2 + \frac 1 {10} + \frac 1 {15} + \frac 1 {n-1} + \frac 1 {3\cdot 4} +\cdots + \frac 1 {(n-2)(n-1)}.$$

Vì $n$ là tích của hai số nguyên liên tiếp nên $n-1$ khác $n-1$ số nguyên dương còn lại. Hơn nữa, bản thân $n-1$ số nguyên dương ấy cũng đôi một khác nhau.

2) $n$ không là tích của hai số nguyên dương liên tiếp.

Áp dụng đẳng thức trên với $k=3$, $r=n-3$, ta có

$$1=\frac 1 2 + \frac 1 {6} + \frac 1 {n} + \frac 1 {3\cdot 4} +\cdots + \frac 1 {(n-1)n}.$$

Vì không là tích của hai số nguyên dương liên tiếp nên $n$ khác $n-1$ số nguyên dương còn lại.

Kết luận: Tất cả số nguyên dương $n\neq 2$ thoả mãn bài toán.

Ghi chú. 

i) Mỗi biểu diễn ứng với từng giá trị của $n$ dĩ nhiên không phải là duy nhất. Chẳng hạn với $n=4$ thì

$$1=\frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 6 + \frac 1 {12} = \frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 {10} + \frac 1 {15}=\frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 8 + \frac 1 {24} = \cdots$$

ii) Có tồn tại không một cách xây dựng $n$ số nguyên dương đôi một phân biệt, cho phép vượt qua $n^2$, sao cho tổng các nghịch đảo của chúng bằng $1$ không? Nói cách khác, bỏ đi yêu cầu "không vượt quá $n^2$" thì bài toán có dễ đi nhiều không?