Chỉ là hệ phương trình trên R?

Mỗi ngày một bài toán 09

Bài toán. Giải hệ phương trình trên tập số thực:

$$x+ \frac{3x-y}{x^2+y^2} = 3$$

$$y - \frac{x+3y}{x^2+y^2} = 0.$$

Giải. Nhân phương trình thứ hai cho đơn vị ảo $i$ rồi cộng theo vế với phương trình thứ nhất, ta được

$$x+yi + \frac{3(x-yi)}{x^2+y^2} - i\frac{x-yi}{x^2+y^2}=3.$$

Đặt $z=x+yi \in \mathbb C$. Khi đó $x^2+y^2 = |z|^2 = z\bar z.$

Ta viết lại đẳng thức trên thành

$$z+ \frac{(3-i)\bar z}{|z|^2} = 3$$

$$\Leftrightarrow z^2 - 3z + (3-i) = 0.$$

Phương trình này có hai nghiệm $z=2+i$ và $z=1-i$.

Vậy $(x,y) = (2, 1)$ và $(x, y) = (1,-1)$ là tất cả các nghiệm của hệ phương trình.

Tương tự.

Bài 9.1. Giải hệ phương trình trên tập số thực:

$$\sqrt{3x} \left(1 + \frac 1 {x+y}\right) = 2$$

$$\sqrt{7x} \left(1 - \frac 1 {x+y}\right) = 4\sqrt{2}.$$