Tích phân và bài toán chuyển động xe lửa

Mỗi ngày một bài toán 10

Bài toán. Một người quan sát một tàu hoả bắt đầu chuyển động. Người này nhìn thấy toa tàu thứ nhất đi ngang qua sau thời gian $t_1$. Hỏi toa thứ $n$ đi qua người đó sau thời gian bao lâu, nếu gia tốc $a$ của đoàn tàu thay đổi theo quy luật $a=kt$.

Giải.

Vì $\frac {dv}{dt} = a=kt$ nên $dv=ktdt$. Lấy tích phân hai vế ta được

$$v=\frac{kt^2}{2}+C.$$

Vì tàu đứng yên tại thời điểm $t=0$ nên $C=0$. Do đó $v=\frac{kt^2}2$.

Vì $\frac {ds}{dt} = v=\frac{kt^2}2$ nên $ds=\frac k 2 t^2dt$. Lấy tích phân hai vế ta được

$$s=\frac{kt^3}{6}+C.$$

Vì tàu đứng yên tại thời điểm $t=0$ nên $C=0$. Do đó $$s=\frac{kt^3}6.$$

Gọi $l$ là độ dài một toa tàu. Ta có $l=\frac{kt_1^3}6,$ suy ra

$$k=\frac{6l}{t_1^3}.$$

Vậy $$s=\frac{lt^3}{t_1^3}.$$

Ký hiệu $t_n$ là thời gian $n$ toa đầu tiên chạy qua người quan sát. Khi đó

$$nl=\frac{lt_n^3}{t_1^3}\Rightarrow t_n=t_1\sqrt[3]{n}.$$

Thời gian toa thứ $n$ chạy qua người quan sát là

$$t_n-t_{n-1}=t_1\left(\sqrt[3] n -\sqrt[3]{n-1}\right).$$