Số nghiệm đa thức và Định lý Rolle

Mỗi ngày một bài toán 11

Bài toán. Cho đa thức $P(x)$ hệ số thực có bậc $n$. Chứng minh rằng phương trình $P(x) = 2^x$ có không quá $n+1$ nghiệm thực.

Giải. Ta chứng minh quy nạp theo bậc $n$ của $P(x)$.

Với $n=0$, người đọc tự kiểm tra.

Giả sử nếu $\deg P = n$ thì phương trình $P(x)=2^x$ có không quá $n+1$ nghiệm.

Xét $P(x)$ có bậc $n+1$ và hàm số $f(x) = P(x) - 2^x$. Ta có

$$f'(x) = P'(x) - 2^x \ln 2 = \ln 2 \left[ \frac{P'(x)}{\ln 2} - 2^x\right].$$

Chú ý rằng $\frac {P'(x)}{\ln 2}$ là một đa thức có bậc $n$ nên theo giả thiết quy nạp, $f'(x)$ có không quá $n+1$ nghiệm.

Theo kết quả Định lý Rolle, phương trình $f(x) = 0$ có không quá $n+2$ nghiệm thực.