Thử đặt vấn đề từ một câu hỏi ôn thi THPTQG

Mỗi ngày một bài toán 12

Bài toán. Cho hàm số $y=ax^2+b$, với $ab<0$ có đồ thị là parabol $(P)$. Xác định đường tròn tiếp xúc trong với $(P)$ và trục hoành.

Giải. Nhận xét rằng do $(P)$ đối xứng qua trục tung nên tâm $I$ của đường tròn nằm trên $Oy$. Khi đó $IO=|r|$ là bán kính của đường tròn.

Xét $A(x_0, ax_0^2 + b)\in (P)$. Tiếp tuyến của $(P)$ tại $A$ có phương trình là

$$\Delta\colon 2ax_0x - y - ax_0^2+b=0.$$

Khi đó $A$ là tiếp điểm của đường tròn $(I,r)$ và $(P)$ khi và chỉ khi $IA=|r|$ (1) và $IA\perp \Delta$ (2).

Từ (2) suy ra $\overrightarrow{IA}=(x_0, ax_0^2+b-r)$ là vector pháp tuyến của $\Delta$. Do đó

$$\frac{x_0}{2ax_0}=\frac{ax_0^2+b-r}{-1}.$$

Từ đó rút ra được 

$$x_0^2 = \frac r a - \frac b a - \frac 1 {2a^2}.$$

Mặt khác từ (1) cho ta

$$x_0^2 + (ax_0^2 + b - r)^2 = r^2.$$

Thay $x_0^2$ bởi kết quả ở trên, ta đưa về phương trình bậc hai ẩn $r$ như sau:

$$r^2 - \frac 1 a r + \frac b a + \frac 1 {4a^2} = 0.$$

Giải ra được

$$r=\frac 1 {2a} \pm \sqrt{-\frac b a}.$$

Dấu $\pm$ chứng tỏ có hai đường tròn thỏa mãn đề bài. 

Xem minh họa bằng đồ thị với $(a,b) = (-\frac 1 2,8)$ như hình vẽ dưới đây.