Hữu tỷ và vô tỷ

Mỗi ngày một bài toán 13

Bài toán. (Thi thử chuyên SP Toán thường 2023)

a) Hãy chỉ ra một số thực $x$ khác $0$, $\pm 1$ sao cho $x+\frac 1 x$ là một số nguyên.

b) Cho $x$ là một số thực khác $0$, $\pm 1$ thoả mãn $x+\frac 1 x$ là một số nguyên. Chứng minh rằng $\left( x-\frac 1 x\right)^{2023}$ là một số vô tỷ.

Giải.

a) Với $x=\frac{3+\sqrt 5}{2}$ thì $x^2-3x+1=0$, hay $x+\frac 1 x=3$ là một số nguyên.

b) Giả sử $x-\frac 1 x$ là số hữu tỷ. Khi đó

$$x=\frac 1 2 \left( x+\frac 1 x\right) + \frac 1 2 \left( x-\frac 1 x \right)\in \mathbb Q.$$

Đặt $x=\frac a b$, với $a, b\in \mathbb Z\setminus \{0\}$, $\gcd(a, b)=1$. 

Ta có

$$x+\frac 1 x = \frac {a^2+b^2}{ab}\in \mathbb Z.$$

Suy ra $a\,|\,b$ và $b\,|\,a$. Do đó $|a|=|b|$ nên $|x|=1$, một mâu thuẫn. Vậy $x-\frac 1 x$ là số vô tỷ.

Mặt khác

$$\left( x- \frac 1 x\right)^2 = \left(x+\frac 1 x\right)^2-4\in \mathbb Z.$$

Vậy nên $\left( x-\frac 1 x\right)^{2023} = \left[\left( x-\frac 1 x\right)^{2}\right]^{1011}\cdot\left( x-\frac 1 x\right)$ là số vô tỷ.