Dãy bắt đầu tuần hoàn khi nào?

Mỗi ngày một bài toán 14

Bài toán. (CMORQ 2023)

Cho $a_1, a_2, \ldots$ là một dãy số với mỗi phần tử nhận giá trị là $1$ hoặc $-1$. Giả sử

$$\frac {a_1} 3 + \frac {a_2}{3^2} +  \cdots = \frac p q$$

trong đó $p, q$ là các số nguyên và $3$ không là ước của $q$. Chứng minh rằng dãy $\{a_n\}$ là dãy tuần hoàn, theo nghĩa tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $a_i = a_{i+n}$ với mọi $i$.

Giải.

Để ý

$$\frac 1 3 + \frac 1 {3^2} +  \cdots = \frac 1 2.$$

Từ đó

$$\frac {b_1}3 + \frac{b_2}{3^2} + \cdots = \frac{2p+q}{4q},$$

trong đó $b_i = \frac{a_i + 1} 2 \in \{0, 1\}$. Để ý rằng vế trái là biểu diễn thập phân theo cơ số $3$ của vế phải nên $b_1, b_2,\ldots$ phải bắt đầu tuần hoàn từ một số hạng nào đó.

Ta sẽ chứng minh số hạng đó chính là số hạng đầu tiên $b_1$. Thật vậy giả sử tồn tại chỉ số $i\geq 1$ nhỏ nhất sao cho có số nguyên dương $n$ để $b_j = b_{j+n}$ với mọi $j>i$. Khi đó

$$\frac{2p+q}{4q}= \left(\frac {b_1} 3 + \cdots + \frac{b_i}{3^i}\right) + \left(\frac{b_{i+1}}{3^{i+1}}+\cdots + \frac{b_{i+n}}{3^{i+n}}\right)\left(1 + \frac 1 {3^n} + \frac 1 {3^{2n}}+\cdots \right),$$

hay

$$\frac{2p+q}{4q} =  \left(\frac {b_1} 3 + \cdots + \frac{b_i}{3^i}\right) + \frac 1{3^i} \cdot \frac{b_{i+1}3^{n-1} + \cdots + b_{i+n}}{3^n - 1}.$$

Vì $i\geq 1$ nên khi tính tổng vế phải, ta được một phân số có mẫu chia hết cho $3$ còn tử thì không, trong khi đó mẫu số của phân số vế trái là $4q$ không chia hết cho $3$, một mâu thuẫn.