Cực trị tổ hợp với bảng

Bài toán. Cho một bảng vuông $3\times 3$. Điền vào mỗi ô trong bảng một trong các số từ $1$ đến $9$ sao cho hai ô bất kỳ được điền khác nhau và tổng của bốn ô con $2\times 2$ là bằng nhau. Tìm giá trị lớn nhất của tổng các số trong mỗi ô con $2\times 2$.

Giải.

Giả sử bảng được điền theo dạng sau:

                a           b            c

                d           e            f

                g           h            i

Theo giả thiết

$$M:=a+b+d+e = b + c + e + f = d + e + g + h = e + f + h + i.$$

Khi đó

$$4M = (a + b + c + d + e + f + g + h + i) + 3e + b + d + h + f$$

$$\leq 45 + 3\times 9 + 8 + 7 + 6 + 5 = 98.$$

Do đó $M \leq 98/4 = 24,5$. Vì $M$ là số nguyên nên $M\leq 24.$

Ta chỉ ra một trường hợp xảy ra dấu bằng:

            $4$        $8$        $1$

            $3$        $9$        $6$

            $5$        $7$        $2$