Đa thức bậc ba có ba nghiệm trên một đường tròn

Bài toán. Cho đa thức hệ số phức

$$f(x)=x^3+ax^2+bx+c.$$

Giả sử $f(x)$ có ba nghiệm với cùng modulus (mô-đun).

a) Chứng minh rằng $a=0$ khi và chỉ khi $b=0$.

b) Tồn tại hay không một đa thức $f(x)$ thoả mãn bài toán với $(a,b)\neq (0,0)$.

Giải.

a) Giả sử $p, q, r$ là ba nghiệm của $f(x)$ sao cho

$$|p|=|q|=|r|=:k.$$

Nếu $k=0$ thì $p=q=r=0$. Theo Định lý Viete, $a=b=0.$

Nếu $k>0$, ta có $p,q,r\neq 0$ và

$$p\bar p = q\bar q = r\bar r = k^2.$$

Khi đó các điều sau là tương đương

i) $p+q+r=0$;

ii) $\bar p + \bar q + \bar r = 0$;

iii) $k^2 \left( \frac 1 p + \frac 1 q + \frac 1 r \right) =0$;

iv) $\frac 1 p + \frac 1 q + \frac 1 r =0$;

v) $pq+qr+rp=0$;

vi) $b=0$.

b) Câu trả lời là có. Chẳng hạn chọn $f(x)=(x-1)^3$ hoặc $f(x)=(x-1)(x^2 + 1).$