IVT và Lagrange phối hợp xử đẹp một bài toán

Bài toán. Cho hàm số $f$ liên tục trên đoạn $[0, 1]$, có đạo hàm trên $(0, 1)$ và thỏa mãn $f(0)=0$, $f(1)=1$. Chứng minh rằng với $n$ số thực dương $k_1, k_2,\ldots, k_n$ bất kỳ cho trước, tồn tại các số thực $0<a_1<a_2<\cdots<a_n$ sao cho $$\frac{k_1}{f'(a_1)} + \frac{k_2}{f'(a_2)} + \cdots + \frac{k_n}{f'(a_n)}=k_1+k_2+\cdots + k_n.$$

Lời giải. Đặt $S_m = k_1 + k_2 + \cdots + k_m$. Dễ thấy

$$0<\frac{S_1}{S_n} < \frac{S_2}{S_n} < \cdots < \frac{S_{n-1}}{S_n}<1.$$

Sử dụng Định lý giá trị trung gian (Bolzano - Cauchy) theo cách làm quy nạp, tồn tại $$c_0:=0<c_1<c_2<\cdots < c_{n-1}< c_n:=1$$  

sao cho

$$f(c_i) = \frac{S_i}{S_n}, \quad \forall i = 1,2,\ldots, n.$$

Áp dụng Định lý Lagrange trên từng đoạn $[c_{i-1}, c_i]$, tồn tại $a_i \in (c_{i-1},c_i)$ sao cho

$$f'(a_i) = \frac{f(c_i)-f(c_{i-1})}{c_i-c_{i-1}} = \frac{k_i}{S_n(c_i - c_{i-1})},$$

hay

$$\frac{k_i}{f'(a_i)} = S_n(c_i - c_{i-1}), \quad\forall i = 1,2,\ldots, n.$$

Khi lấy tổng với $i$ chạy từ $1$ đến $n$, ta có điều phải chứng minh.