Tính liên tục và miền giá trị hàm số

Bài toán. (T10/387) Có tồn tại hay không hàm số $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

i) $f$ liên tục trên $\mathbb R$.

ii) $f(x+2008)\left(f(x) + \sqrt{2009}\right) = -2010, \forall x\in \mathbb R.$

Giải.

Giả sử tồn tại hàm số $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ liên tục và thỏa mãn ii).

Khi đó $f(x)\neq 0$ và $f(x)\neq -\sqrt{2009}$ với mọi $x\in \mathbb R$.

Vì $f$ là hàm số liên tục nên chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau đối với miền giá trị của $f$ như sau: $\mathrm{Im} f \subset \left(-\infty, -\sqrt{2009}\right)$ hoặc $\mathrm{Im} f \subset \left(-\sqrt{2009},0\right)$ hoặc $\mathrm{Im} f \subset (0, \infty)$.

* Nếu $\mathrm{Im} f \subset \left(-\infty, -\sqrt{2009}\right)$ thì $f(x+2008)<0$, $f(x)+\sqrt{2009}<0$ nên $$0<f(x+2008)\left(f(x)+\sqrt{2009}\right) = -2010,$$

một mâu thuẫn.

* Nếu $\mathrm{Im} f \subset \left(-\sqrt{2009},0\right)$ thì $$2010=|f(x+2008)|\cdot |f(x)+\sqrt{2009}|<\sqrt{2009}\cdot \sqrt{2009}=2009,$$

một mâu thuẫn.

* Nếu $\mathrm{Im} f \subset (0, \infty)$ thì $$0<f(x+2008)\left(f(x)+\sqrt{2009}\right) = -2010,$$

một mâu thuẫn.

Vậy không tồn tại hàm số $f$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài toán tương tự.

1. (Olympic SV 2003) Tìm tất cả hàm số $f$ xác định và liên tục trên $\mathbb R$ thỏa mãn điều kiện $$f(x+2002) \left( f(x) + \sqrt{2003}\right) = -2004, \forall x\in\mathbb R.$$

2. (Chọn ĐT Olympic ĐHBK HN 2023) Có hay không hàm số $f$ xác định và liên tục trên $\mathbb R$ thỏa mãn

$$f(x+1)f(x) + f(x+1) + 1 = 0, \forall x\in\mathbb R.$$

3. (Tổng quát) Không tồn tại hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb R$ sao cho

$$f(x+d) (f(x) + r) = -s, \forall x\in\mathbb R,$$

với $r>0$, $s\geq r^2$, $d\in\mathbb R$ bất kỳ.

Câu hỏi tự nhiên được đặt ra là, nếu $0<s<r^2$$và giữ nguyên các điều kiện còn lại thì hàm số$f$ như trên có tồn tại hay không?