PTVP trong đề thi THPTQG

Bài toán. (TN THPT QG 2023, Mã đề 123, Câu 42)

Cho hàm số $f: (0,+\infty)\rightarrow (0,+\infty)$ có đạo hàm trên khoảng đó và thoả mãn

$$f(x)\ln f(x) = x[f(x)-f'(x)],\quad \forall x\in (0,+\infty).$$

Cho biết $f(1)=f(3)$. Tính $f(2)$.

Nhận xét.

Để ý $$[\ln f(x)]' =\frac{f'(x)}{f(x)}.$$

Đồng thời giả thiết hàm $f$ nhận giá trị dương còn là một gợi ý cho việc chia hai vế cho $f(x)$.

Giải.

Giả thiết bài toán tương đương

$$\ln f(x) = x - x\cdot \frac{f'(x)}{f(x)}$$

$$(x)'\ln f(x)+x\cdot [\ln f(x)]'= x$$

$$[x\ln f(x)]'=x$$

$$x\ln f(x) = \frac {x^2} 2 + C.$$

$$f(x) = \exp (\frac x 2 + \frac C x).$$

Do $f(1)=f(3)$ nên

$$\frac 1 2 + C = \frac 3 2 + \frac C 3.$$

Giải ra $C=\frac 3 2.$ Vậy

$$f(x) =  \exp (\frac x 2 + \frac 3 {2x}), \forall x\in (0,+\infty).$$

Khi đó $f(2)= e^{\tfrac 7 4}\approx 5.75$.