Một PTH về hàm liên tục tại 0

Mỗi ngày một bài toán 18

Bài toán. (HSG 11 Vĩnh Phúc 2023)

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ liên tục tại $0$ và thoả mãn $f(0)=2023$,

$$f(2x)=f(x)\cos x, \forall x\in\mathbb R.$$

Giải. Xét $x\neq 0$ bất kỳ. Ta có $f(x) = f\left(\frac x 2 \right) \cos \frac x 2, \forall x\in \mathbb R.$ Suy ra

$$f(x) = f\left( \frac x {2^n} \right) \cos \frac x 2 \cos \frac x {2^2} \cdots \cos \frac x {2^n}, \forall n\geq 1.$$

Nhân hai vế cho $2^n\sin \frac x {2^n}$ rồi rút gọn dần dần, ta được

$$f(x) \cdot 2^n\sin \frac x {2^n}= f\left(\frac x {2^n} \right) \sin x, \forall n\geq 1,$$

hay

$$f(x) \cdot \frac{\sin \frac x {2^n}}{\frac x {2^n}} = f\left( \frac x {2^n} \right) \frac{\sin x} x, \forall n\geq 1.$$

Cho $n\rightarrow \infty$, với chú ý $f$ liên tục tại $0$, ta có

$$f(x) = f(0) \frac {\sin x} x.$$

Vậy

$$f(x) = \begin{cases} 2023 &\text{if \(x=0\)}\\ 2023\cdot \dfrac {\sin x}{x}&\text{if \(x\neq 0\)}. \end{cases}$$