Processing math: 0%

Sunday, April 30, 2023

Một PTH về hàm liên tục tại 0

Mỗi ngày một bài toán 18

Bài toán. (HSG 11 Vĩnh Phúc 2023)

Tìm tất cả hàm số f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R liên tục tại 0 và thoả mãn f(0)=2023,

f(2x)=f(x)\cos x, \forall x\in\mathbb R.

Giải. Xét x\neq 0 bất kỳ. Ta có f(x) = f\left(\frac x 2 \right) \cos \frac x 2, \forall x\in \mathbb R. Suy ra

f(x) = f\left( \frac x {2^n} \right) \cos \frac x 2 \cos \frac x {2^2} \cdots \cos \frac x {2^n}, \forall n\geq 1.

Nhân hai vế cho 2^n\sin \frac x {2^n} rồi rút gọn dần dần, ta được

f(x) \cdot 2^n\sin \frac x {2^n}= f\left(\frac x {2^n} \right) \sin x, \forall n\geq 1,

hay

f(x) \cdot \frac{\sin \frac x {2^n}}{\frac x {2^n}} = f\left( \frac x {2^n} \right) \frac{\sin x} x, \forall n\geq 1.

Cho n\rightarrow \infty, với chú ý f liên tục tại 0, ta có

f(x) = f(0) \frac {\sin x} x.

Vậy

f(x) = \begin{cases} 2023 &\text{if \(x=0\)}\\ 2023\cdot \dfrac {\sin x}{x}&\text{if \(x\neq 0\)}. \end{cases}

No comments:

Post a Comment

Một chút lượng giác

Bài toán.  Cho các số thực a,b,c thoả mãn \sin a+\sin b+\sin c\geq \frac 32. Chứng minh rằng $$\sin\left( a-\frac{\pi}6\right)+\sin\left...