Mỗi ngày một bài toán 18
Bài toán. (HSG 11 Vĩnh Phúc 2023)
Tìm tất cả hàm số f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R liên tục tại 0 và thoả mãn f(0)=2023,
f(2x)=f(x)\cos x, \forall x\in\mathbb R.
Giải. Xét x\neq 0 bất kỳ. Ta có f(x) = f\left(\frac x 2 \right) \cos \frac x 2, \forall x\in \mathbb R. Suy ra
f(x) = f\left( \frac x {2^n} \right) \cos \frac x 2 \cos \frac x {2^2} \cdots \cos \frac x {2^n}, \forall n\geq 1.
Nhân hai vế cho 2^n\sin \frac x {2^n} rồi rút gọn dần dần, ta được
f(x) \cdot 2^n\sin \frac x {2^n}= f\left(\frac x {2^n} \right) \sin x, \forall n\geq 1,
hay
f(x) \cdot \frac{\sin \frac x {2^n}}{\frac x {2^n}} = f\left( \frac x {2^n} \right) \frac{\sin x} x, \forall n\geq 1.
Cho n\rightarrow \infty, với chú ý f liên tục tại 0, ta có
f(x) = f(0) \frac {\sin x} x.
Vậy
f(x) = \begin{cases} 2023 &\text{if \(x=0\)}\\ 2023\cdot \dfrac {\sin x}{x}&\text{if \(x\neq 0\)}. \end{cases}
No comments:
Post a Comment