Bất đẳng thức và hàm lồi

Bài toán. 

a) Chứng minh rằng $\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \pi$.

b) Cho tam giác nhọn $ABC$, chứng minh rằng $\tan A + 2\tan B + 5\tan C \geq 12.$

Giải.

a) Đặt $\alpha = \arctan 3$, $\beta = \arctan 2$ với $\alpha, \beta \in \left( 0, \frac \pi 2\right).$

Sử dụng công thức cộng, ta có

$$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta} = \frac{3+2}{1-3\cdot 2}=-1.$$

Do đó $\alpha + \beta = -\frac \pi 4 + k\pi$ với $k\in \mathbb Z$. Mà $\alpha + \beta \in \left( 0, \pi\right)$ nên

$$\arctan 3 + \arctan 2 = \alpha + \beta = \frac{3\pi}{4}.$$

Với chú ý $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$, ta có điều phải chứng minh.

b) Xét hàm số $f(x)=\tan x$ trên $\left(0, \frac \pi 2 \right)$. 

Vì $f''(x) = 2\tan x (1 + \tan^2 x)>0, \forall x\in \left(0, \frac \pi 2 \right)$ nên  $f$ là hàm lồi trên $\left(0, \dfrac \pi 2\right)$. Do đó ta có bất đẳng thức

$$f(x)\geq f(y) + f'(y)(x-y), \forall x, y\in \left(0, \frac \pi 2\right).$$  

Đặt $\alpha = \arctan 3$, $\beta = \arctan 2$, $\gamma = \arctan 1$. Ta có

$$f(A)\geq f(\alpha) + f'(\alpha)(A-\alpha)=3+10(A-\alpha),$$

$$f(B)\geq f(\beta) + f'(\beta)(B-\beta)=2+5(B-\beta),$$

$$f(C)\geq f(\gamma) + f'(\gamma)(C-\gamma)=1+2(C-\gamma).$$

Do đó

$$f(A)+2f(B)+5f(C)\geq 12 + 10(A+B+C-\alpha - \beta - \gamma) = 12.$$

Với $(A, B, C) = (\alpha, \beta, \gamma)$ thì đẳng thức xảy ra.