Một chút lượng giác

Bài toán. Cho các số thực $a,b,c$ thoả mãn $\sin a+\sin b+\sin c\geq \frac 32$. Chứng minh rằng

$$\sin\left( a-\frac{\pi}6\right)+\sin\left( b-\frac{\pi}6\right)+\sin\left( c-\frac{\pi}6\right)\geq 0.$$

Giải. Hiển nhiên

$$\sin\left( a+\frac{\pi}3\right)+\sin\left( b+\frac{\pi}3\right)+\sin\left( c+\frac{\pi}3\right)\leq 3,$$

hay 

$$\frac 1 2 (\sin a+\sin b+\sin c)+\frac {\sqrt 3}2(\cos a+\cos b+\cos c)\leq 3.$$

Kết hợp giả thiết suy ra

$$\cos a+\cos b+\cos c\leq \frac{3\sqrt 3}{2}.$$

Từ đó

$$\sin\left( a-\frac{\pi}6\right)+\sin\left( b-\frac{\pi}6\right)+\sin\left( c-\frac{\pi}6\right)$$

$$=\frac{\sqrt 3}2(\sin a+\sin b+\sin c)-\frac 12(\cos a+\cos b+\cos c)\geq 0.$$

Dấu đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi $a=b=c=\frac \pi 6.$

Giải PT bằng hàm ngược

Bài toán. Giải phương trình $$x^9+\frac 9 8 x^6 + \frac {27}{64}x^3-x+\frac{219}{512}=0.$$

Giải.

Phương trình viết lại thành

$$\left( x^3 +\frac 3 8\right)^3 = x-\frac 3 8$$

$$ x^3 +\frac 38 =\sqrt[3]{x-\frac 38}$$

hay

$$f(x)=f^{-1}(x),$$

với $f(x)=x^3+\frac 3 8.$ Vì đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=f^{-1}(x)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$ nên kết quả trên tương đương

$$f(x)=x.$$

Giải phương trình bậc ba này, ta tìm được ba nghiệm

$$x=\frac12, x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}4.$$

Giải PT bằng HPT

Bài toán. (T5/552)

Giải phương trình $x^3+6x^2+12x=16\sqrt[3]{x+3}.$

Giải.

PT được viết lại

$$(x+2)^3-8=8\sqrt[3]{8x+24}.$$

Đặt $a=x+2$. $b=\sqrt{8x+24}$. Khi đó ta có hệ

$$a^3-8=8b,$$

$$b^3-8=8a.$$

Hệ PT đối xứng trên có nghiệm $(a,b)=(k, k)$ với $k\in \{-2,1\pm \sqrt 5\}.$

Từ đó tập nghiệm của PT ban đầu là $S=\{-4,-1\pm \sqrt 5\}.$

Dạng tổng quát. $$A^n+B=C\sqrt[n]{AC-B}.$$

Đặt $u=A$, $ v=\sqrt[n]{AC-B}$ ta sẽ đưa về HPT đối xứng.

Bài tập tương tự.

1. $4x^2-3x=(x+2)\sqrt{2x^2+2x-1}.$

2. $x^3-15x^2+75x-131=\sqrt[3]{x+1}.$ (HSG 9 Bắc Ninh)

PTVP trong đề thi THPTQG

Bài toán. (TN THPT QG 2023, Mã đề 123, Câu 42)

Cho hàm số $f: (0,+\infty)\rightarrow (0,+\infty)$ có đạo hàm trên khoảng đó và thoả mãn

$$f(x)\ln f(x) = x[f(x)-f'(x)],\quad \forall x\in (0,+\infty).$$

Cho biết $f(1)=f(3)$. Tính $f(2)$.

Nhận xét.

Để ý $$[\ln f(x)]' =\frac{f'(x)}{f(x)}.$$

Đồng thời giả thiết hàm $f$ nhận giá trị dương còn là một gợi ý cho việc chia hai vế cho $f(x)$.

Giải.

Giả thiết bài toán tương đương

$$\ln f(x) = x - x\cdot \frac{f'(x)}{f(x)}$$

$$(x)'\ln f(x)+x\cdot [\ln f(x)]'= x$$

$$[x\ln f(x)]'=x$$

$$ x\ln f(x) = \frac {x^2} 2 + C.$$

$$ f(x) = \exp (\frac x 2 + \frac C x).$$

Do $f(1)=f(3)$ nên

$$\frac 1 2 + C = \frac 3 2 + \frac C 3.$$

Giải ra $C=\frac 3 2.$ Vậy

$$ f(x) =  \exp (\frac x 2 + \frac 3 {2x}), \forall x\in (0,+\infty).$$

Khi đó $f(2)= e^{\tfrac 7 4}\approx 5.75$.

Ranh giới mong manh giữa thực và ảo

Bài toán. Tìm $k$ để đa thức
$$ P(x) = x^3 -4x^2 +6x +k$$
có ba nghiệm $a, b, c$ thoả mãn
$$\frac 1 {a^2+ b^2} + \frac 1 {b^2+c^2} + \frac 1 {c^2+ a^2}=\frac 1 3.$$

Giải.

Theo Định lý Viete, $$a^2 + b^2 + c^2 = 4^2-2\cdot 6= 4.$$

Chú ý

$$\frac 4 {4-x^2} = \frac 1 {2-x} - \frac 1 {-2-x}.$$

Giả thiết bài toán viết lại thành

$$\frac {P'(2)}{P(2)} - \frac{P'(-2)}{P(-2)}=\frac 4 3$$

hay

$$\frac 2 {k+4} - \frac {34}{k-36}=\frac 4 3.$$

Giải được $k=2$ hoặc $k=6$.

Lời giải trên có vấn đề gì không?

Đa thức bậc ba có ba nghiệm trên một đường tròn

Bài toán. Cho đa thức hệ số phức $$f(x)=x^3+ax^2+bx+c.$$

Giả sử $f(x)$ có ba nghiệm với cùng modulus (mô-đun).

a) Chứng minh rằng $a=0$ khi và chỉ khi $b=0$.

b) Tồn tại hay không một đa thức $f(x)$ thoả mãn bài toán với $(a,b)\neq (0,0)$.

Giải.

a) Giả sử $p, q, r$ là ba nghiệm của $f(x)$ sao cho $$|p|=|q|=|r|=:k.$$

Nếu $k=0$ thì $p=q=r=0$. Theo Định lý Viete, $a=b=0.$

Nếu $k>0$, ta có $p,q,r\neq 0$ và

$$p\bar p = q\bar q = r\bar r = k^2.$$

Khi đó các điều sau là tương đương

i) $p+q+r=0$;

ii) $\bar p + \bar q + \bar r = 0$;

iii) $k^2 \left( \frac 1 p + \frac 1 q + \frac 1 r \right) =0$;

iv) $ \frac 1 p + \frac 1 q + \frac 1 r =0$;

v) $pq+qr+rp=0$;

vi) $b=0$.

b) Câu trả lời là có. Chẳng hạn chọn $f(x)=(x-1)^3$ hoặc $f(x)=(x-1)(x^2 + 1).$